抽样分布 · CLT · 置信区间
这是整门课的分水岭：从这一周开始，"统计推断"正式登场。理解这一周，后面五周就都顺了；不理解，后面就是背公式。
一、这一周在讲什么
抽样误差（sampling error） = \( \bar{x}-\mu \)，是统计量与总体参数之差。它不可消除（因为只抽了一部分），但可以量化——量化的工具就是抽样分布。
1.1 抽样分布：对"统计量"的分布
如果换一个样本，\( \bar{x} \) 就会变。所有可能样本的 \( \bar{x} \) 形成的分布，叫抽样分布。注意：它是统计量的分布，不是原始数据的分布。这个区分本身就是一道概念题。
1.2 估计量的三个性质（概念必考）
| 性质 | 含义 | 一句话 |
|---|---|---|
| 无偏 unbiased | 期望等于参数 | \( E[\bar{x}]=\mu \)：长期平均正好命中 |
| 有效 efficient | 方差最小 | 在所有无偏估计量里波动最小 |
| 一致 consistent | n 增大收敛到参数 | 样本越大越接近真相 |
1.3 中心极限定理（CLT）：推断的"许可证"
无论总体分布如何，当 \( n \) 足够大（经验法则 \( n\ge 30 \)）时，\( \bar{X} \) 近似服从 \( N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \)。这就是为什么我们敢在非正态数据上用 z 与 t。
1.4 z 还是 t？——每道题的第一个决策点
| 步骤 | 问自己 | 如果"是" |
|---|---|---|
| 1 | 题目给了总体 \( \sigma \) 吗？ | 用 z（且总体正态或 \( n\ge 30 \)） |
| 2 | 只给了样本 \( s \)？ | 用 t，\( \df=n-1 \)（单样本） |
| 3 | 这是两个样本吗？ | 双样本 t，df 按 Case 2 或 Case 3 |
| 4 | 这是比例而非均值？ | 用 z，并先检查 \( n\pi\ge 10,\ n(1-\pi)\ge 10 \) |
| 5 | 这是回归系数？ | 用 t，\( \df=n-2 \) |
二、核心公式与图形
三、考点清单与预测题型
| 题型 | 出现概率 | 分值 | 拿分要点 |
|---|---|---|---|
| 计算 均值 CI（z 或 t） | 必考 | 4 | 定 z/t → 套公式 → 写完整解释句。 |
| 计算 比例 CI | 较高 | 3–4 | 先检查 \( x\ge10,\ n-x\ge10 \)；用样本 p。 |
| 推理 两 CI 重叠的含义 | 中等 | 2–3 | "cannot rule out that the two proportions are the same." |
| 概念 CI 变窄的方法 / 为什么用 t | 较高 | 2 | 增大 n 或降低置信水平；\( \sigma \) 未知。 |
| 概念 无偏/有效/一致 | 中等 | 2 | 三句话定义。 |
依据：课件原题 "\( n=20,\ \bar{x}=510,\ s=73.77 \), construct a 90% CI for \( \mu \)" → \( \df=19 \)，\( t=1.729 \)，区间 [481.48, 538.52]；分值估计来自 考试情报 §六 的置信区间板块（10–13 分）。
四、典型例题精讲
例题 1 · 均值的 t 置信区间 4
某 MBA 入学考试成绩抽样 \( n=20 \)，\( \bar{x}=510 \)，\( s=73.77 \)。构造 90% 置信区间并解释。
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\( \sigma \) 未知 → 用 t，\( \df=19 \)，\( \alpha=0.10 \Rightarrow t_{0.05,19}=1.729 \)。
标准误 \( = s/\sqrt{n} = 73.77/\sqrt{20} = 73.77/4.4721 = 16.494 \)。
区间 \( = 510 \pm 1.729 \times 16.494 = 510 \pm 28.52 = [481.48,\ 538.52] \)。
解释："We are 90% confident that the population mean GMAT score of all MBA applicants lies between 481.48 and 538.52."
评分点：① 声明用 t 因为 \( \sigma \) 未知（1 分）｜② 临界值 \( t_{0.05,19} \)（1 分）｜③ 标准误（1 分）｜④ 区间数值（1 分）。解释句另计（写在结论里）。
陷阱：查 \( t_{0.10,19} \)（单尾）而不是双尾 \( t_{0.05,19} \)——90% CI 是双尾，两侧各留 5%。
例题 2 · 比例置信区间 3
随机抽取 250 笔交易，其中 22 笔退货。构造退货率的 95% 置信区间（含条件检查）。
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\( p = 22/250 = 0.088 \)。
条件检查：\( x=22\ge10 \) 且 \( n-x=228\ge10 \) ✓，可用正态近似。
标准误 \( = \sqrt{p(1-p)/n} = \sqrt{0.088\times0.912/250} = \sqrt{0.0003211} = 0.01792 \)。
区间 \( = 0.088 \pm 1.96(0.01792) = 0.088 \pm 0.0351 = [0.0529,\ 0.1231] \)。
解释："We are 95% confident that the true return rate lies between 5.29% and 12.31%."
评分点：① 条件检查（1 分）｜② 标准误（1 分）｜③ 区间 + 解释句（1 分）。
陷阱：比例 CI 用样本 \( p \)；而下周的比例检验用 \( \pi_0 \)。分母不同，别混。
例题 3 · CI 重叠的推理 2
两组比例的 95% CI 分别为 [0.42, 0.58] 与 [0.45, 0.61]。能否断言两个总体比例不同？
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两个区间重叠，因此不能排除两个总体比例相同——差异可能只是抽样波动。"We cannot rule out that the two population proportions are the same; the difference could be due to sampling variation."
评分点：① 指出重叠（1 分）｜② 给出"不能排除相同"的结论与理由（1 分）。
注意：严格判断两组差异应做两比例检验（Week 9），而不是只看 CI 是否重叠——但本题问的就是这个直觉。
五、易错点与考场技巧
| 易错点 | 正确做法 |
|---|---|
| 解释成"\( \mu \) 有 90% 概率落在区间内" | \( \mu \) 是固定的；正确解释是关于"方法"的，用 "We are 90% confident…"。 |
| 比例 CI 用 \( \pi_0 \) | 比例 CI 用样本 \( p \)；比例检验才用 \( \pi_0 \)。 |
| 标准误里用错 n | n 是该样本的样本量；双样本题里别用总观测数。 |
| 只查单尾 t 临界值 | CI 用的是 \( t_{\alpha/2,n-1} \)。 |
| 忘记写假设/条件检查 | 大样本写 CLT；小样本写"总体近似正态"。 |
CI 题固定四步：① 定 z/t → ② 写临界值与标准误 → ③ 算区间 → ④ 写解释句。第 ④ 步是独立的送分点，很多人算完就停，白白丢分。参考 速查表 §六 的模板句。
六、3 分钟自测
上一周：Week 5 · 连续与正态分布｜下一周：Week 7 · 单样本假设检验
你不是记不住，你只是还没重复够。