综合算例 · 逐步核对 · 模型识别

题目：总收益 \(TB=10N-N^2\)，总成本 \(TC=4+N+2N^2\)。求最优的 \(N\)。

第 1 步：把目标写成一个函数。 \(NB=TB-TC=10N-N^2-4-N-2N^2=-3N^2+9N-4\)。为什么：净收益才是要最大化的对象，后面所有条件都从这个式子推出来。

第 2 步：求边际量。 \(MB=\dfrac{dTB}{dN}=10-2N\)，\(MC=\dfrac{dTC}{dN}=1+4N\)。为什么：边际分析比较“下一单位”的收益与成本，所以对总量求导，而不是相除。

第 3 步：一阶条件。 \(MB=MC\)：\(10-2N=1+4N\Rightarrow 9=6N\Rightarrow N^*=1.5\)。为什么：内点最优处，多一单位的收益恰好等于多一单位的成本。

第 4 步：二阶条件。 \(NB''(N)=-6<0\)，所以是极大值。为什么：一阶条件只给候选点，要确认是最大值而不是最小值。

第 5 步：边界检查与结论。 \(N\ge 0\)，\(1.5\) 在可行范围内；\(NB(1.5)=2.75\)。为什么：题目可能限制整数或非负，边界可能优于内点。

题目：Sheldon 做一顿饭 2 小时、洗一篮衣 4 小时；Leonard 做饭 0.5 小时、洗衣 3 小时。谁在洗衣上有比较优势？交易价格区间是多少？

第 1 步：算各自洗衣的机会成本。 \(OC(\text{洗衣},\text{以餐计})=\dfrac{\text{洗衣小时}}{\text{做饭小时}}\)。Sheldon：\(4/2=2\) 餐；Leonard：\(3/0.5=6\) 餐。为什么：机会成本是“做这件事放弃的另一种产品数量”，用耗时之比才算得出来。

第 2 步：比机会成本，而不是比绝对耗时。 Sheldon 洗衣的 OC 更低 ⟹ Sheldon 在洗衣上有比较优势。Leonard 做饭的 OC \(=0.5/3=1/6\) 篮 ⟹ Leonard 在做饭上有比较优势。为什么：Leonard 两项都更快（绝对优势都在他），但比较优势看的是机会成本。

第 3 步：写出互利区间。 卖方（Sheldon）至少要求 2 餐/篮，买方（Leonard）最多愿付 6 餐/篮：

提醒：端点 2 与 6 会让一方无差异；题目若要求“双方都严格更好”，就排除这两个端点。

题目：原需求 \(Q_D=480-4P\)（逆需求 \(P=120-Q/4\)）。“向上平移 100”与“向右平移 100”分别得到什么？

向上平移 100（价格轴方向）：同一数量下买方多付 100 ⟹ \(P=220-Q/4\Rightarrow Q_D=880-4P\)。为什么：“向上”是价格方向，所以逆需求的截距加 100。

向右平移 100（数量轴方向）：同一价格下需求多 100 ⟹ \(Q_D=580-4P\)。为什么：“向右”是数量方向，所以每个价格对应的数量加 100。

陷阱：两种平移的新截距并不相同——画图前先看坐标轴。把“+100”直接加到数量上而不管方向，是最常见的错。

题目：逆需求 \(P_D=12-Q/4\)，逆供给 \(P_S=Q/2\)，政府对卖方征收单位税 \(t=3\)。求税后价格、数量、税收收入与 DWL。

第 1 步：先算基准均衡。 \(12-Q/4=Q/2\Rightarrow 12=3Q/4\Rightarrow Q^*=16,\ P^*=8\)。为什么：DWL 是相对基准算的，先拿到基准点。

第 2 步：算税前福利。 \(CS=\tfrac12(12-8)(16)=32\)，\(PS=\tfrac12(8-0)(16)=64\)，\(TS=96\)。为什么：直线图形用三角形面积（½×底×高）。

第 3 步：写成楔子并联立。 \(Q_D=48-4P\)、\(Q_S=2P\)，令 \(P_D-P_S=3\)：

第 4 步：税收收入。 \(G=t\cdot Q_t=3\times12=36\)。为什么：政府只对成交数量征税。

第 5 步：税后福利。 \(CS=\tfrac12(12-9)(12)=18\)，\(PS=\tfrac12(6-0)(12)=36\)，\(TS_t=18+36+36=90\)。为什么：政府收入也是社会总剩余的一部分。

第 6 步：DWL。 \(DWL=96-90=6\)，也可写成 \(\tfrac12\times3\times(16-12)=6\)。为什么：DWL 是“消失的交易收益”，与税收收入不是一回事。

题目：\(Q_D=12-P\)，\(Q_S=2P\)，政府给卖方每单位补贴 \(s=3\)。做完整福利核算。

第 1 步：原均衡与福利。 \(12-P=2P\Rightarrow P=4,\ Q=8\)。\(CS=\tfrac12(12-4)(8)=32\)，\(PS=\tfrac12(4)(8)=16\)，\(TS=48\)。为什么：先算基准，才能看出补贴带来的变化。

第 2 步：补贴楔。 买方付 \(P_D\)，卖方得 \(P_S=P_D+3\)：

第 3 步：核算。 \(CS=\tfrac12(12-2)(10)=50\)，\(PS=\tfrac12(5)(10)=25\)，政府支出 \(=-sQ=-3\times10=-30\)，\(TS_s=50+25-30=45\)。

结论：补贴把产量推过有效水平，买卖双方都变好，但政府支出更大，社会总剩余下降 3。为什么：没有待纠正的市场失灵时，补贴制造的是新的无谓损失。

题目：把低技能劳动小时当成交易商品。国内需求 \(Q_D=10000-500w\)、国内供给 \(Q_S=500w\)；世界工资 \(P_W=5\)，征收进口税 \(t=2.5\)。

第 1 步：自给自足。 \(10000-500w=500w\Rightarrow w=10,\ Q=5000\)。为什么：自给价格是判断“进口还是出口”的分界。

第 2 步：自由贸易。 世界工资 5 低于自给价 10 ⟹ 进口。\(Q_S(5)=2500\)，\(Q_D(5)=7500\)，进口 \(M=5000\)。为什么：小国把世界价当外生，只看国内供需缺口。

第 3 步：关税后。 国内工资 \(=5+2.5=7.5\)：\(Q_S=3750\)，\(Q_D=6250\)，进口 \(=2500\)，关税收入 \(=2.5\times2500=6250\)。为什么：关税只对进口量征收，不是对全部消费量。

第 4 步：DWL（相对自由贸易）。 两个三角形：过度的国内生产 \(\tfrac12\times2.5\times(3750-2500)=1562.5\)，减少的消费 \(\tfrac12\times2.5\times(7500-6250)=1562.5\)，合计 3125。为什么：基准是自由贸易，不是自给自足——别拿错基准。

题目：\(PMB=SMB=100-Q\)，\(PMC=Q\)，边际外部成本恒为 20。求私人产量、社会最优产量与最优庇古税。

第 1 步：私人均衡。 \(PMB=PMC\)：\(100-Q=Q\Rightarrow Q=50\)。为什么：市场只看私人的收益与成本，私人均衡是“实际会发生”的量。

第 2 步：社会最优。 \(SMC=Q+20\)，令 \(SMB=SMC\)：\(100-Q=Q+20\Rightarrow Q^{**}=40\)。为什么：社会最优要把外部成本算进来，负外部性使 \(SMC>PMC\)。

第 3 步：庇古税。 \(t^*=MEC(Q^{**})=20\)。验证：课税后企业面对 \(PMC+t=Q+20=SMC\)，令其等于 \(SMB\)：\(100-Q=Q+20\Rightarrow Q=40\) ✓。为什么：税 = 社会最优产量处的边际外部成本，而不是“总外部损害 ÷ 产量”。

第 4 步：DWL。 \(\tfrac12\times20\times(50-40)=100\)。为什么：DWL 是私人产量与社会最优之间那片未实现的交易收益。

题目：面包店 \(Q=4\sqrt{L}\)，工资 \(w=20\)，固定成本 100。求成本函数、边际成本，以及生产 20 个面包所需的工时。

第 1 步：反解投入。 \(\sqrt{L}=Q/4\Rightarrow L=Q^2/16\)。为什么：要算成本，先把“产量 → 所需投入”反解出来。

第 2 步：可变成本。 \(VC=wL=20\times\dfrac{Q^2}{16}=1.25Q^2\)。为什么：可变成本 = 投入价格 × 投入量。

第 3 步：总成本与边际成本。 \(TC=100+1.25Q^2\)，\(MC=\dfrac{dTC}{dQ}=2.5Q\)。为什么：边际成本是新增一单位的成本。

第 4 步：用边际产量交叉验证。 \(MP_L=\dfrac{dQ}{dL}=\dfrac{2}{\sqrt{L}}\)，\(MC=\dfrac{w}{MP_L}=\dfrac{20}{2/\sqrt{L}}=10\sqrt{L}=10\times\dfrac{Q}{4}=2.5Q\) ✓。为什么：单一可变投入时，边际成本与边际产量成反比。

第 5 步：生产 20 个面包。 \(L=\dfrac{20^2}{16}=25\) 工时。为什么：把目标产量代回投入函数即可。

题目：9 家相同企业，每家 \(TC=50+0.5q^2\)；市场需求 \(Q_D=120-P\)。求短期与长期均衡。

第 1 步：企业边际成本。 \(MC=q\)，企业按 \(P=MC\) 决策，所以 \(q=P\)。为什么：完全竞争用边际条件定产量。

第 2 步：确认没有停产区间。 \(AVC=0.5q\)，最低值趋于 0，价格为正就开工。为什么：要先确认 \(P>AVC\) 才谈得上生产。

第 3 步：市场供给在相同价格下相加数量。 \(Q_S=9q=9P\)。为什么：市场加总加的是数量，不是价格。

第 4 步：短期均衡。 \(9P=120-P\Rightarrow P_{SR}=12,\ Q_{SR}=108\)，每家 \(q=12\)。

第 5 步：利润判进出。 \(\pi=12\times12-(50+0.5\times144)=144-122=22>0\Rightarrow\) 有新企业进入。

第 6 步：长期均衡。 \(ATC=\dfrac{50}{q}+0.5q\)，\(\dfrac{dATC}{dq}=-\dfrac{50}{q^2}+0.5=0\Rightarrow q_{LR}=10\)，\(ATC(10)=10\)。所以 \(P_{LR}=10\)，\(Q_D(10)=110\)，企业数 \(n_{LR}=110/10=11\)。

结论：短期 9 家、\(P=12\)；长期 11 家、\(P=10\)。为什么：自由进入把经济利润压到零，价格回落到最低平均成本。

题目：需求 \(Q=24-0.5P\)，总成本 \(TC=10+Q^2\)，统一定价。求垄断解、有效基准与 DWL。

第 1 步：写反需求与边际收益。 \(P=48-2Q\)，\(TR=48Q-2Q^2\)，\(MR=48-4Q\)。为什么：垄断面对下降需求，\(MR<P\)。

第 2 步：定产量、回需求读价格。 \(MR=MC\)：\(48-4Q=2Q\Rightarrow Q_M=8\)；\(P_M=48-16=32\)。为什么：\(Q\) 由 \(MR=MC\) 决定，但 \(P\) 必须回到需求曲线读，不能在 \(MR\) 上读。

第 3 步：利润。 \(\pi=32\times8-(10+64)=256-74=182\)。

第 4 步：有效基准。 \(P=MC\)：\(48-2Q=2Q\Rightarrow Q_C=12,\ P_C=24\)。为什么：无外部性时，效率要求边际愿付等于边际成本。

第 5 步：DWL。 \(\tfrac12(12-8)(32-16)=32\)。为什么：垄断造成的 80 消费者损失里，48 只是转移给垄断者，只有 32 是真正消失的社会损失——把两者分开说，是这道题唯一的易丢分点。

口径提醒：PS 用收入减可变成本；利润再减固定成本 10。若总福利也扣同一固定成本，两列总福利是 246 与 278，DWL 仍是 32。

题目：市场有 \(N\) 家企业，每家需求 \(q=\dfrac{100}{N}-P\)，成本 \(TC=50+q^2\)。求长期 \(N,q,P\)。

第 1 步：把 \(N\) 当参数，写反需求与边际量。 \(P=\dfrac{100}{N}-q\)，\(MR=\dfrac{100}{N}-2q\)，\(MC=2q\)。为什么：先固定企业数求“该企业的最优”，再用零利润求 \(N\)。

第 2 步：利润最大化。 \(\dfrac{100}{N}-2q=2q\Rightarrow q=\dfrac{25}{N}\)。为什么：这是给定 \(N\) 时的最优产量。

第 3 步：价格与利润关于 \(N\) 的表达式。 \(P=\dfrac{100}{N}-\dfrac{25}{N}=\dfrac{75}{N}\)；\(\Pi=Pq-TC=\dfrac{75}{N}\cdot\dfrac{25}{N}-50-\left(\dfrac{25}{N}\right)^2=\dfrac{1250}{N^2}-50\)。

第 4 步：长期零利润。 \(\dfrac{1250}{N^2}-50=0\Rightarrow N^2=25\Rightarrow N=5\)，于是 \(q=5\)、\(P=15\)。

第 5 步：过剩产能。 \(ATC=\dfrac{50}{q}+q\) 的最低点在 \(q=\sqrt{50}\approx7.07>5\)，所以企业产量在最低 ATC 左侧 ⟹ 存在过剩产能，且 \(P=15>MC=10\)。

关键提醒（codex 版特别标出）：L17 problems Q4 的需求常数是 \(\dfrac{200}{N}\)，不是 \(\dfrac{100}{N}\)。同理可解 \(q=\dfrac{50}{N}\)、\(P=\dfrac{150}{N}\)、\(\Pi=\dfrac{5000}{N^2}-50=0\Rightarrow N=10\)。为什么：常数变了企业数就变——不能照抄 T10 的 \(N=5\)。

题目：市场 1：\(Q_1=20-\dfrac{P_1}{3}\)；市场 2：\(Q_2=20-\dfrac{2P_2}{3}\)。边际成本恒为 12，无固定成本。求分市场定价。

第 1 步：各市场反需求与边际收益。 \(P_1=60-3Q_1\Rightarrow MR_1=60-6Q_1\)；\(P_2=30-1.5Q_2\Rightarrow MR_2=30-3Q_2\)。为什么：分市场定价要先各自写成逆需求。

第 2 步：各自令 \(MR_i=MC\)。 \(60-6Q_1=12\Rightarrow Q_1=8,\ P_1=36\)；\(30-3Q_2=12\Rightarrow Q_2=6,\ P_2=21\)。为什么：可识别、可防套利的市场里，各市场边际收益都等于共同的边际成本。

第 3 步：利润。 \(\Pi=(36-12)\times8+(21-12)\times6=192+54=246\)。

第 4 步：用弹性核对加成。

结论：越缺乏弹性的市场加成越高——这是逆弹性法则 \(\dfrac{P-MC}{P}=\dfrac{1}{|\varepsilon_D|}\)。为什么：判断依据是最优点处的弹性，不是曲线斜率。歧视把利润从 196 提到 246，但总福利可能下降（本题消费者的损失更大）。

题目：50 位度假客 + 50 位商务客。度假客愿付：经济舱 200、头等舱 250；商务客愿付：经济舱 250、头等舱 800。每名乘客的边际成本：经济舱 100、头等舱 150。

第 1 步：单舱方案对比。 经济舱 200 服务全部 100 人：\(\Pi=100\times(200-100)=10000\)；头等舱 800 只卖商务客：\(\Pi=50\times(800-150)=32500\)。单舱最优是后者。为什么：先把“只有一种产品”的上限定死，才知道菜单要打败谁。

第 2 步：写约束。 若经济舱 \(p_E=200\)，商务客买经济舱得 \(250-200=50\)，所以头等舱定价受制于：

第 3 步：取上界。 \(p_E=200\)，则 \(p_F\le750\)，取 \(p_F=750\)。核对：\(IR_H:\ 800-750=50\ge0\) ✓；\(IC_L:\ 200-200=0>250-750=-500\) ✓。为什么：利润随两个价格增加，所以在该分配下取二者上界。

第 4 步：利润。 \(\Pi=50\times(200-100)+50\times(750-150)=5000+30000=35000>32500\)。信息租 \(=50\times50=2500\)。为什么：高类型可以冒充低类型，所以高档价格被“低档替代品”压住——企业给高类型留“信息租”换取更高的低档销量。

结论：最高价格不是简单取 200 与 800，而是被自己的低价替代品限制在 750。

题目 A：收益对顺序为（行，列）：招/招 \((-10,-10)\)、招/不招 \((-1,-25)\)、不招/招 \((-25,-1)\)、不招/不招 \((-3,-3)\)。

第 1 步：找占优策略。 无论对手选什么，招供都更好（\(-10>-25\)，\(-1>-3\)）⟹ 招供是严格占优 ⟹ 唯一 NE =（招，招）\(=(-10,-10)\)。为什么：占优要逐个比较对手的所有选择，不能看到某一格收益高就宣布占优。

第 2 步：识别困境。（不招，不招）\(=(-3,-3)\) 对双方都更好，却不是均衡 ⟹ 囚徒困境。为什么：合作的总收益再高，也改变不了单方面偏离的激励。

题目 B（Split or Steal）：把奖金归一为 2，收益为（分，分）\((1,1)\)、（分，偷）\((0,2)\)、（偷，分）\((2,0)\)、（偷，偷）\((0,0)\)。

第 3 步：弱占优。 偷是弱占优策略：对手分时 \(2>1\)；对手偷时 \(0=0\)（并列）。为什么：弱占优允许一部分情形相等，至少一处严格更好。

第 4 步：找齐全部纯策略 NE。 双重最佳回应的格子有三个：

结论：有三个纯策略 NE——（偷，偷）、（偷，分）、（分，偷）。为什么：弱占优的并列会让多个格子同时成为最佳回应；只报告（偷，偷）会漏掉答案。注意：混合策略只作概念辨认，L20 明确不展开求解。